Hàm von Mangoldt function đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết của chuỗi Dirichlet, và cụ thể hơn là hàm zeta Riemann. Ví dụ chẳng hạn, ta có

log ⁡ ζ ( s ) = ∑ n = 2 ∞ Λ ( n ) log ⁡ ( n ) 1 n s , Re ( s ) > 1. {\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}\,{\frac {1}{n^{s}}},\qquad {\text{Re}}(s)>1.}

Đạo hàm lôgarit của nó như sau[6]

ζ ′ ( s ) ζ ( s ) = − ∑ n = 1 ∞ Λ ( n ) n s . {\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.}

Các công thức trên là trường hợp đặc biệt của dạng tổng quát trên chuỗi Dirichlet. Nếu ta có

F ( s ) = ∑ n = 1 ∞ f ( n ) n s {\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}

với f ( n ) {\displaystyle f(n)} là hàm nhân đầy đủ và chuỗi hội tụ khi Re(s) > σ0, thì

F ′ ( s ) F ( s ) = − ∑ n = 1 ∞ f ( n ) Λ ( n ) n s {\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}}

hội tụ khi Re(s) > σ0.